进位计数制-安徽省庐江中学

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进位计数制
发布时间：2008-10-13 9:18:01 来源：本站原创点击率：

1、根据不同的进位原则，可以得到不同的进位制。在日常生活中，人们广泛使用的是十进制数，有时也会遇到其他进制的数，例如，钟表上，六十秒钟为一分钟，六十分钟为一小时，即为六十进制。
在计算机中，最常使用的是：
(1)十进制 (2)二进制 (3)八进制 (4)十六进制
（1）十进制

    十进制记数法有两个特点：
   •它有十个不同的记数符号：0、1、2、…、9。每一位数只能用这十个记数符号之一来表示，称这些记数符号为数码。
   •它采用逢十进一的原则计数。小数点前面自右向左，分别为个位、十位、百位、千位等，相应地，小数点后面自左向右，分别为十分位、百分位、千分位等。各个数码所在的位置称为数位。
例如：十进制数666.66

    个位的6表示其本身的数值；而十位的6，表示其本身数值的十倍，即6×10，百位的6，则代表其本身数值的一百倍，即6×100；而小数点右边第一位小数位的6表示的值为6×0.1；第二位小数位的6表示的值为6×0.01。
    因此这个十进制数可以用多项式展开写成：

666.66 ＝ 6×10 2＋6×10 1＋6×10 0＋6×10－1＋6×10－2

如果用a i表示某一位的不同数码，对任意一个十进制数A，可用多项式表示为：

A＝a n－110 n－1＋…＋a 110 1＋a 010 0＋a－110－1＋…＋a－m10―m

在上式中，m、n为正整数，n为小数点左边的位数，m为小数点右边的位数，即m、n为相应的数位值。各个数码由于所在数位不同而乘以10的若干次幂称为相应数位的“权”。“权”的底数称为进位制的基数。在这里，因为是十进制数，所以基数是10。
    以上是十进制数的计数机理，在正常书写时，各数码的“权”隐含在数位之中，即：

A＝ a n－1 a n－2 … a 1 a 0 .a –1 … a－m

（2）二进制
    二进制记数法也有两个特点：
    •它有两不同的记数符号，即数码：0和1。
•它采用逢二进一的原则计数。也就是说，进位基数是2。数码在不同的数位所代表的值也是不相同的，各数位的“权”是以2为底的幂。
例如：

（10110.1）2

＝ 1×2 4 ＋0×2 3 ＋1×2 1 ＋0×2 0 ＋1×2－1

＝（22.5）10

任意一个二进制数B，可以展开成多项式之和,即

B = b n－12 n－1 +b n－22 n－2 +…+b 12 1+b 02 0+

b－12－1 +…+b－m2－m

其中，b I 的取值为0或1，n为小数点左边的位数，m为小数点右边的位数。
      二进制记数法各数位的“权”，整数部分从小数点开始向左分别为1，2，4，8，16，32，…；小数部分的“权”，从小数点向右分别为0.5, 0.25, 0.125，…。
      二进制的基数是2，数位的“权”是以2 为底数的幂。一般书写时，各数码的“权”隐含在数位之中，即：
          B ＝ b n－1 b n－2 …b 1 b 0 .b –1 …b－m
（3）八进制数

     八进制记数法的两个特点是：
    •采用八个不同的记数符号，即数码：0～7。
    •采用逢八进一的进位原则。在不同的数位，数码所表示的值等于数码的值乘上相应数位的“权”。例如：

（456.45）8 ＝ 4×8 2＋5×8 1＋6×8 0＋4×8－1＋5×8－2

＝（302.578125）10

一般地，任意一个八进制数可以表示为：

C ＝ c n－18 n－1 +c n－28 n－2 +…+c 18 1 +

c 08 0+c－18－1 +…+c－m8－m

在上式中，C i 只能取0～7之一的值；八进制的基数是8。
（4）十六进制
十六进制记数法也有两个特点：
•它采用十六个不同的记数符号，即数码：0～9及A、B、C、D、E、F。其中A表示十进制数10，B表示11，C表示12，D表示13，E表示14，F表示15。
•它采用逢十六进一的进位原则，各位数的“权”是以16为底数的幂。
例如：

（2AF）16 ＝ 2×16 2＋A×16 1＋F×16 0

＝2×16 2＋10×16 ＋15×1

＝（687）10

一个任意的十六进制数可以表示为：

D ＝ d n－116 n－1 +d n－216 n－2 +…

+d 116 1+d 016 0 +d －116－1 +…+d－m16－m

在上式中，d i可以取0～F之一的值；十六进制的基数是16。
2、十进制数与二进制数之间的转换
（1）二进制数转换成十进制数
根据公式：

B = b n－12 n－1 +b n－22 n－2 +…+b 12 1+

b 02 0+b－12－1 +…+b－m2－m

     将待转换的二进制数按各数位的权展开成一个多项式，求出该多项式的和就可以了。
    例如：

（1101.01）2 ＝ 1×2 3＋1×2 2＋0×2 1＋1×2 0＋0×2－1＋1×2－2

＝（13.25）10

（2）十进制整数转换成二进制整数
逐次除2取余法：
     用2逐次去除待转换的十进制整数，直至商为0时停止。每次所得的余数即为二进制数码，先得到的余数在低位，后得到的余数排在高位。
例如，将83转换成二进制数，逐次除2取余：
2         83         1
2        41          1
2       20          1
2       10          0
2        5           0
2        2           1
0
得到的余数从先至后依次为：
                         1、1、0、0、1、0、1
可得到：（83）10＝（1010011）2
（3）十进制小数转换成二进制小数
乘2取整法：
     逐次用2去乘待转换的十进制小数，将每次得到的整数部分（0或1）依次记为二进制小数b－1，b－2，…，b－m。
例如，将0.8125转换为二进制小数，逐次乘2取整：
0. 8125
                                  ×      2
                               1     . 625
                                  ×      2
                               1       . 25
                                  ×      2
                                0        . 5
                                  ×      2
                                1        . 0
可得：
（0.8125）10
      ＝（0.1101）2
值得注意的是:
    并非每一个十进制小数都能转换为有限位的二进制小数，此时可以采用0舍1入的方法进行处理（类似于十进制中的四舍五入的方法）。
例如，将0.335转换为二进制小数，精确到0.001。
0. 335
       ×      2
        0 .   67
       ×      2
        1 .   34
       ×      2
        0 .   68
       ×      2
1 . 536
可得：（0.335）10 ＝（0.0101…）2 ≈（0.011）2
（4）任意十进制数转换成二进制数
对于任意一个既有整数部分，又有小数部分的十进制数，在转换为二进制数时:
     只要将它的整数部分和小数部分分别按除2取余和乘2取整的法则转换，最后把所得的结果用小数点连接起来即可。
必须注意:
    逐次除2取余的余数是按从低位到高位的排列顺序与二进制整数数位相对应的；逐次乘2取整的整数是按从高位向低位的排列顺序与二进制小数数位相对应的。其共同特点是以小数点为中心，逐次向左、右两边排列。
（1）八进制、十六进制数转换成十进制数

   同二进制数到十进制数的转换，分别套用相应公式。
（2）十进制数转换成八进制、十六进制数
   分别采用除8取余法（对小数部分为乘8取整法）、除16取余法（对小数部分为乘16取整法）。
注意：
   在进行十进制数转换成十六进制数的过程中，对于采用除16取余法得到的余数和采用乘16取整法得到的整数，若为10～15之间的数值，最后要分别用字符A、B、C、D、E、F代替。
3、二进制数与八、十六进制数的转换
（1）二进制数转换成八进制数
     因为2 3＝8，所以三位二进制数位相当于一个八进制数位，它们之间存在简单直接的关系。
三位一并法：
   从待转换的二进制数的小数点开始，分别向左、右两个方向进行，将每三位合并为一组，不足三位的以0补齐（注意：整数部分在前面补0，小数部分在末尾补0）。然后每三位二进制数用相应的八进制码（0～7）表示，即完成二－八转换工作。
〖例1〗将（101010001.001）2转换成八进制数。
   首先以小数点为中心，分别向左右两个方向每三位划分成一组（以逗号作为分界符）：
          101，010，001.001，
   然后，每三位用一个相应八进制数码代替，即得：
（101010001.001）2 ＝（521.1）8
〖例2〗将（10010001.0011）2转换成八进制数。
    首先分组（以逗号作为分界符）：
            10，010，001.001，1
   小数点的左边，有一组“10”不足三位，应该补一位0，即应补为“010”；小数点的右边，有一组“1”不足三位，应该补两位0，即应补为“100”。则补0后的分组情况为：
             010，010，001.001，100，
即得：
          （10010001.0011）2 ＝（221.14）8
（2）八进制数转换为二进制数
      此为上述转换的逆过程。将每一位八进制数码用三位二进制数码代替，即“一分为三”。
〖例3〗将（576.35）8转换成二进制数。
    将八进制数的每位数码依次用三位二进制数代替，即得：
（576.35）8 ＝（101111110.011101）2
（3）二进制数转换为十六进制数
    因为2 4＝16，因此四位二进制数与一位十六进制数是完全对应的。
四位一并法：
       从待转换的二进制数的小数点开始，分别向左、右两个方向进行，将每四位合并为一组，不足四位的以0补齐。然后每四位二进制数用一个相应的十六进制码（0～F）表示，即完成二－十六转换工作。
〖例4〗将（10110001.0011）2转换成十六进制数。
    首先以小数点为中心，分别向左右两个方向每四位划分成一组（以逗号作为分界符）：
            1011，0001.0011，
   然后，每四位用一个相应十六进制数码代替，即得：
（10110001.0011）2 ＝（B1.3）16
（4）十六进制数转换为二进制数
   与八－二转换类似，采用“一分为四”的方法，把每个十六进制数码用四位二进制数代替就完成了十六－二转换工作。
〖例6〗将（576.35）16转换成二进制数。
将八进制数的每位数码依次用三位二进制数代替，即得：
（576.35）16 ＝
         （010101110110.00110101）2

1 (3725)8 + (B)16的运算结果是（BCE）。

A. (3736)₈ B. (2016)₁₀ C. (11111100000)₂ D. (3006)₁₀ E. (7E0)₁₆

2、十进制数100等值于二进制数（B）。

A. 1001100 B. 1100100 C. 1100100 D. 1001100 E. 1001100

3、(2004)₁₀ + (32)₁₆的结果是（BCD）。

(2036)₁₆ B. (2054)₁₀ C. (4006)₈ D. (100000000110)₂ E. (2036)₁₀

4、十进制数2003等值于二进制数（D）。
A） 0100000111 B） 10000011 C） 110000111 D） 11111010011 E） 1111010011

5. 运算试(2008)₁₀-(3723)₈ 的结果是（BCD）。
A）(-1715)₁₀ B) (5)₁₀ C) (5)₁₆ D) (101)₂ E) (3263)₈

6．十进制书11/128可用二进制数码序列表示为：（D）。

A）1011/1000000 B）1011/100000000 C）0.001011 D）0.0001011

7．算式（2047）₁₀－（3FF）₁₆＋（2000）₈的结果是（A）。

A）（2048）₁₀ B）（2049）₁₀ C）（3746）₈ D）（1AF7）₁₆

8、运算式(2047)₁₀—(3FF)₁₆+(2000)₈的结果是( A)

　A)(2048)₁₀ 　 B)(2049)₁₀ 　C)(3746)₈ 　D)(1AF7)₁₆

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